关于补码的理解

相信大家都听过原码、反码、补码，需要知道的是，这三种都是有符号位的表示方法，第一位是符号位，1为负，0为正。如果是无符号，就不用分那么多了，直接转成二进制就是了，毕竟不用考虑负数。

1. 原码、反码、补码 是如何定义的？

• 原码：就是一个数的二进制表示，是我们最熟悉的二进制有符号数的表示方式，正数的话符号位为0，负数为1。 例：15的原码就是0000 1111；-15的原码就是1000 1111。
• 反码：反码是基于原码的变动，有两种情况，如果是正数的反码，就跟原码相同。如果是负数的反码，则除了符号位，其他全部取反 例：15的反码就是0000 1111；-15的反码就是1111 0000
• 补码：补码是基于反码的变动，有两种情况，如果是正数的补码，就跟原码反码都相同。如果是负数的补码，则在其反码的基础上，再加1 例：15的补码就是0000 1111；-15的补码就是1111 0001。

2. 为什么计算机用补码表示负数

在计算机里，通常用补码表示负数，或者说计算机里只有一种码，那就是补码。 我们偶尔会在有些地方看到这样的说法：计算机有符号数中，正数用原码表示，负数用补码表示。另一种说法是计算机有符号数只有补码一种表示方式。 我个人的理解是都没错，其实也没必要分哪边是正确的叫法，毕竟正数的补码跟原码是完全相同的，如果内容完全一样，那叫法稍有不同也没关系。 我的话更偏向计算机只有补码一种表现方式，因为它的存在意义就是为了弥补使用原码时产生的缺陷。

我们先假设，计算机的有符号数都是用原码表示的，那么-15就是1000 1111 现在来作个简单的运算,5+(-15)=? 　０００００１０１ ＋１０００１１１１ －－－－－－－－－ 　１００１０１００ 我们应该要求得的应该是-10，显然1001 0100的值是-20，它只是把两个数相加，然后再根据符号位判断是正负而已。 如果我们要用原码表示计算机内部有符号数，那就意味着我们不得不再作出另一种运算规则，让正数的相加用一种，跟负数的相加用另外一种。 这是十分复杂的，而现在有更简单的方法，就是引入补码。

补码的本质

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。 要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。 已知8的二进制是0000 1000，-8就可以用0-8：0000 0000减去0000 1000得出 　００００００００ －００００１０００ －－－－－－－－－ 这时我们会发现不够减，我们都知道当位不够减的时候，会“借位”，这时就相当于是1 0000 0000减0000 1000了 １００００００００ －００００１０００ －－－－－－－－－ 　１１１１１０００ 而1 0000 0000等价于1111 1111+1，现在可以拆分成两个式子 　１１１１１１１１ －００００１０００ －－－－－－－－－ 　１１１１０１１１ ＋０００００００１ －－－－－－－－－ 　１１１１１０００ 这就是补码的转换步骤 由0减去8得出了-8，也就是补码（-8）和原码（+8）相加的和为0 这里有个前置条件，就是我们限定了只有8位，所以借位了就不用考虑“还”的问题了，如果是16位，则是继续往前借，直到最高位以后，也同样不必考虑还的问题，多少位的区别只是前面会多几个“1”。

为什么正数加法适用于2的补码？

现在测试一下，用补码是否能解决上面的问题，只用加法就计算出正确答案。

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。

Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来，分成两种情况讨论。

第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。

深度解析

首先，为什么补码可以用加法得到相减的结果？

之所以可以这样做，是因为计算机的有符号数是有位数“上限”的，8位计算机就是8位的上限，16位的就是16位的上限，一旦超出这个上限，多余的位就会被丢失，相当于不存在了 举例来说，假设现在我们是4位的计算机，它的表示范围是-8~7 我们现在尝试输出结果超出4位的运算： 1111+0001 先不去想他们值是什么，我们现在知道它的结果应该是1 0000，但由于我们现在是4位的机器，所以超出的一位自然就被“丢弃”了，所以结果应该是0000 现在再去看它们的值，是 -1+1=0，结果是准确的，我们用加法成功的做出了减法的效果，而这都是因为我们把超出最高位的位数“丢弃”了，这就是为什么补码可以用加法得到减法的效果。

那十进制呢，十进制可以这样吗？

我们在十进制运算的时候，几乎没有位数限制，毕竟人不是机器。当没有位数限制的时候，你无论怎么加，都无法作出丢弃超出最高位的位数的行为，因为根本没有最高位，所以是无法用加法作出减法的效果的。 如果一定想用十进制作出如上的效果需要两个条件，限制位数和重定义数字的值。 由于限制的位数，同时产生了一个衍生的条件，就是在有效位里，我们可以表示的数字是有限的，不像我们现实中的运算，正负无限延伸。既然产生了这个条件，我们就必须考虑在这个范围内，每个符号的顺序。

由于我们现在是十进制，只有10个符号，假设我们只限了一位，超出一位的都会被“丢弃”。 我们给这些符号赋上意义，上面这行我们只当它是符号，在下面的括号里则是它们的意义，范围是-5~4。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （ 0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1　）

1
2

之所以这样赋值，原因和补码一样，我们利用10减去1，得到了9，那么9就是1的负数也就是-1。 首先我们不用数字的方式计算结果，而是用移位的方式，符号如果是4+5的话就把4往后移5位。 我们将这串符号看成如下图一样的一个环，超出9的时候下一个又是0开始，现在我们不用“丢弃”最高位后的一位来看待，而是超出最高位时，下一个还是第一位。 在这里插入图片描述 现在我们用补码的方式来进行减的操作，3+（-2），在上面的符号就是3+8，我们把3后移8个位，得到符号1，它的意义是1，答案是正确的。 但如果是符号6加符号7，我们得到了符号3就会变成：（-3）+（-4）=3 这是因为我们计算的结果超出了有效范围-5~4，当超出这个范围时，它的计算结果就会变得不准确，就像int类型的范围是-2147483648——2147483647，如果你在超出了他们的范围计算，那得到的结果同样也是不准确的。

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